Кружок 7 класса

Листок 1. Игры с числами

В тридевятом царстве, в тридесятом государстве есть волшебный лес, в котором, естественно, живут волшебные герои. Некоторые из них летают на коврах самолётах, другие гоняются за тремя поросятами, а третьи просто любят мороженое. Как и всем нам, волшебным героям приходится сталкиваться с математикой. Хотя нет, волшебные герои встречаются с математикой гораздо чаще, ведь даже в названии страны, в которой они живут, есть числа. Вот такие истории постоянно происходят в этом лесу.

1.

Волшебный заяц так увлёкся чтением, что из его книжки выпал кусок. Заяц заметил, что первая страница выпавшего куска, имеет номер 387, а номер последней записывается теми же цифрами только в другом порядке. Заяц побежал рассказать об удивительном случае своим друзьям. По дороге он так торопился, что забыл номер последней страницы. Можете ли вы сказать ему этот номер и определить, сколько страниц в выпавшем куске?

2.

Когда гном входит в волшебную шахту, перед ним появляется какое-нибудь число. Он должен вычеркнуть из числа 10 цифр, и сразу после того, как он это делает к нему выезжает тележка с таким количеством золотых песчинок, какое число осталось написанным. Сегодня, когда в шахту зашёл гном-шахтёр Вася, появилось число 123451234512345123451234512345. Помогите Васе добыть как можно больше золота.

3.

Известно, что в волшебном лесу растёт очень много цветочков-девятнадцатиточков. Общее количество этих цветочков в лесу состоит из 19 цифр, делится на 19 и оканчивается на 19. Сколько их может быть? (Найдите хотя бы один вариант.)

4.

Возраст папы-лиса в 7 раз больше возраста сына-лисёнка, а возраст лисёнка равен последней цифре возраста папы. Определите, сколько лет каждому.

5.

В теремке, стоящем посередине леса живут барсуки и еноты. Квартиры в теремке пронумерованы только двузначными числами, причём в номерах использованы все двузначные числа. Сколько всего жильцов в теремке? Номера квартир, в которых живут барсуки, состоят только из чётных цифр. Определите теперь, сколько среди жильцов барсуков и сколько енотов?

6.

Сова написала правильную несократимую дробь, а удав увеличил её числитель на 1, а знаменатель — на 1000. Получилась опять правильная несократимая дробь. Сова считает, что дробь после таких действий обязательно уменьшится. Права ли она?

7.

Два гномика, Саня и Ваня, писали подряд числа 1, 2, ... 2005. Саня писал только цифру 1, а Ваня — только цифру 2. Остальные же цифры волшебным образом появлялись сами. После того, как работа была завершена, гномики задумались, кто из них написал цифр больше, Саня или Ваня, и на сколько. Помогите им, найти ответ на этот вопрос.