Кружок 6 класса

Занятие 5. Логика (19.11.2005)

1.

Пятак обкатывают вокруг неподвижного пятака. Сколько оборотов он сделает к моменту возвращения в исходную точку?

2.

Две хозяйки покупали молоко каждый день в течение месяца. Цена на молоко ежедневно менялась. Средняя цена молока за месяц оказалась равной 20 рублям. Ежедневно первая хозяйка покупала по одному литру, а вторая — на 20 рублей. Кто из них потратил за этот месяц больше денег и кто купил больше молока?

3.

На острове живут 100 человек, причём некоторые из них всегда лгут, а остальные всегда говорят только правду. У каждого жителя острова есть одно любимое время года. Каждому островитянину было задано 4 вопроса:

• Любите ли Вы зиму?
• Любите ли Вы осень?
• Любите ли Вы лето?
• Любите ли Вы весну?

На первый и второй вопрос утвердительно ответили по 25 человек, на третий — 45, на четвёртый — 55. Сколько лжецов на острове?

4.

Есть 101 монета, среди них одна фальшивая, отличающаяся по весу от настоящих. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирек определить, легче или тяжелее фальшивая монета?

5.

В городе Глупове живут только полицейские, воры и обыватели. Полицейские всегда врут обывателям, воры — полицейским, а обыватели — ворам. Во всех остальных случаях жители Глупова говорят правду. Однажды несколько глуповцев водили хоровод и каждый сказал своему правому соседу: «Я — полицейский». Сколько обывателей было в этом хороводе?

6.

На острове живут только рыцари (которые всегда говорят правду) и лжецы (которые всегда лгут). Трое из них сделали по два заявления.
Первый сказал: «На острове живёт не более 3 человек»; «Все жители острова — лжецы».
Второй сказал: «На острове живёт не более 4 человек»; «Не все жители острова — лжецы».
Третий сказал: «На острове живёт 5 человек»; «На острове не менее 3 лжецов».
Сколько человек живёт на острове и сколько среди них лжецов?

7.

Таня задумала целое число от 1 до 100. Саша пытается его угадать. При его удаче Таня говорит: «Угадал!» Если не угадал, то Таня число меняет: делит на Сашино, если делится нацело, иначе умножает на Сашино число и прибавляет единицу (не сообщая ему ничего). Докажите, что Саша сможет угадать число, задуманное первоначально Таней.

8.

Переаттестация Совета Мудрецов из 100 мудрецов происходит так: король выстраивает их в колонну по одному и надевает на голову каждому колпак белого или черного цвета. Каждый мудрец видит цвета колпаков всех остальных мудрецов, но не видит цвет своего колпака. Затем мудрецы по одному называют какой-нибудь цвет (каждому разрешается говорить ровно один раз; то, что говорит один мудрец, слышат все). Если только один из мудрецов совершит ошибку, король простит его, но в противном случае король казнит всех мудрецов, назвавших цвет, отличный от цвета своего колпака. Накануне переаттестации все члены Совета стали договариваться между собой, как избежать казни. Возможно ли это?