Кружок 6 класса

Математическая регата (30.10.2004)

Блок 1 (10 мин) (каждая задача — 6 баллов)

1-1.

Решите уравнение ((x : 2 – 3) : 2 – 1) : 2 – 4 = 3.

1-2.

Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на четыре равные части так, чтобы линии разрезов шли по сторонам клеток. Найдите как можно больше способов. (Симметричные случаи различными не считаются.)

1-3.

У зайцев было несколько бревен. Все бревна были распилены: всего сделали 20 распилов и получили 27 чурбачков. Сколько бревен было у зайцев? (Ответ объясните.)

Блок 2 (15 мин.) (каждая задача — 7 баллов)

2-1.

Решите ребус: A + BB + A = CCC. (Каждую букву надо заменить цифрами, при этом одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным буквам — разные цифры.) Найдите все решения и объясните, как вы нашли ответ.

2-2.

Нарисуйте восемь точек и соедините их отрезками так, чтобы отрезки не пересекались и каждая точка была бы вершиной ровно четырёх отрезков.

2-3.

Жители города А говорят только правду, жители города В — только ложь, а жители города С — попеременно правду и ложь (т. е. из двух высказанных ими утверждений одно истинно, а другое ложно). В пожарную часть сообщили по телефону: «У нас пожар, скорее приезжайте!» «Где?» — спросил дежурный по части. «В городе С», — ответили ему. В какой город должна приехать пожарная машина?

Блок 3 (20 мин.) (каждая задача — 8 баллов)

3-1.

Было два положительных числа. Одно из них увеличили на 1 процент, второе — на 4 процента. Могла ли их сумма увеличиться на 3 процента? (Если да, приведите пример, если нет — объясните, почему.)

3-2.

Как на стол поставить 8 одинаковых кубиков так, чтобы со всех сторон полностью было видно ровно 23 грани кубиков, а остальные грани видны не были?

3-3.

В колонию, состоящую из двухсот бактерий, попадает один вирус. В первую минуту он уничтожает одну бактерию, затем делится на два новых вируса, и одновременно каждая из оставшихся бактерий тоже делится на две новые. В следующую минуту возникшие два вируса уничтожают две бактерии, и затем каждый из оставшихся вирусов и каждая из оставшихся бактерий снова делятся пополам и так далее. Будет ли эта колония жить бесконечно долго или, если она в конце концов погибнет, то через какое время это произойдёт?

Блок 4 (25 мин.) (каждая задача — 9 баллов)

4-1.

Над цепью озер летела стая гусей. На каждом озере садилась половина гусей и еще полгуся, а остальные летели дальше. Все гуси сели на 8 озерах. Сколько гусей было в стае?

4-2.

Каждая точка плоскости покрашена либо в красный, либо в синий цвет. Докажите, что обязательно найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми ровно 1 метр.

4-3.

За круглым столом сидят 7 дипломатов. Они должны провести по одной беседе друг с другом. Два дипломата будут беседовать только в том случае, если они окажутся рядом. После того, как каждый из дипломатов закончил переговоры со своими соседями, дипломаты встают и занимают новые положения. С каким минимальным количеством пересаживаний может пройти встреча?