Кружок 6 класса

Занятие 13. Принцип Дирихле (20.03.05)

1.

За победу в турнире Архимеда команда из 8 человек получила 12 конфет. Дети поделили конфеты между собой, не разламывая их. Определите, верны ли следующие утверждения:
«кому-то досталось по крайней мере 2 конфеты»;
«кому-то досталось по крайней мере 3 конфеты»;
«двум людям досталось по крайней мере две конфеты»;
«каждому досталась хотя бы одна конфета».

2.

У трёх членов жюри спросили: «Сколько команд будет участвовать в турнире Архимеда?» Один сказал: «Меньше тридцати трех». Другой: «Меньше тридцати одной», а третий: «Меньше тридцати двух». Сколько команд участвовало в турнире Архимеда, если правы оказались в точности двое членов жюри?

3.

На финальном матче школьного первенства по баскетболу команда 6А забила 9 мячей. Докажите, что найдутся два игрока этой команды, забившие поровну мячей. (В команде было 5 игроков.)

4.

Маленький брат Андрея раскрасил шашки в восемь цветов. Сколькими способами Андрей может поставить на доску 8 разноцветных шашек так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке было по одной шашке?
Сколькими способами Андрей может поставить на доску 8 белых шашек так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке было по одной шашке?

5.

В Москве проживает более 10 000 000 людей. На голове у каждого человека не может быть более 300 000 волос. Докажите, что наверняка найдутся 34 москвича с одинаковым числом волос на голове.

6.

Имеется клетчатая доска размером а) 10×10; б) 11×11. Играют двое. За один ход разрешено в любом столбце или в любой строке закрасить сколько угодно стоящих подряд незакрашенных клеток. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть?

7.

Верно ли, что в вашей аудитории есть по крайне мере два человека, имеющие одинаковое число друзей в этой аудитории. Верно ли это для любой аудитории Малого мехмата?